Prvky a operace symetrie v morfologii

Všechny možné plochy na krystalech lze odvodit pomocí malého množství prvků symetrie, resp. jejich kombinací. V morfologické krystalografii odhlížíme od vnitřní nespojité stavby krystalů a považujeme je za spojitá (kontinuitní) tělesa bez jakékoliv vnitřní struktury. Prvky symetrie, které se uplatňují v symetrii krystalových mnohostěnů, proto nazýváme prvky symetrie kontinua.

Prvek symetrie je bod, přímka či plocha, kolem něhož jsou symetricky sdruženy vzájemně ekvivalentní, stejnocenné plochy (hrany, rohy) krystalu. “Pohyb”, kterým ze základní plochy vzniká tato skupina stejnocenných ploch, nazýváme operace symetrie. Opakováním operace symetrie dospějeme do stavu, který nelze odlišit od výchozího stavu. Z toho důvodu se prvky symetrie kontinua označují rovněž jako uzavřené prvky symetrie. Uzavřená operace symetrie je tedy geometrická transformace, která zachovává vzdálenosti v tělese (nedochází k roztažení, stlačení či ohybu) a po jejímž provedení nerozlišíme, že k nějaké transformaci došlo. Základní uzavřené prvky symetrie a jim odpovídající operace jsou (tab. 2.1):

Tabulka 2.1: Uzavřené prvky symetrie

Inverze (symetrie podle bodu)

Pod pojmem inverze rozumíme zobrazení podle středu symetrie (obr. 2.13a). Přítomnost středu symetrie v krystalu způsobuje, že každé ploše krystalu odpovídá protiplocha, která je s ní rovnoběžná, nachází se ve stejné vzdálenosti od středu symetrie a má k ní inverzní polohu. Střed symetrie se označuje symbolem .

Zrcadlení (symetrie podle plochy)

Této operaci symetrie odpovídá rovina symetrie (obr. 2.13b). Je to myšlená rovina, která prochází středem krystalu a je rovnoběžná s některou jeho existující nebo možnou plochou. Rovina symetrie rozděluje krystal na dvě zrcadlově symetrické poloviny (za předpokladu rovnoměrného vývinu krystalu). Maximální počet rovin symetrie možných na krystalu je 9. Pro rovinu symetrie se používá symbol m.

Rotace (otáčení, symetrie podle rotačních os)

Rotace je zprostředkována rotačními osami symetrie neboli gyrami (obr. 2.13c). Gyra je myšlená přímka procházející středem krystalu a rovnoběžná s některou jeho skutečnou nebo teoreticky možnou hranou. Při otáčení krystalu o 360° kolem gyry převádíme krystal několikrát do pozice shodné s výchozí polohou. Počet těchto shodných poloh určuje četnost osy (n). Úhel pootočení (α) lze potom vypočítat:

Podle četnosti rozlišujeme následující gyry (tab. 2.2 a obr. 2.14):

Tabulka 2.2: Gyry

Povšimněme si, že ve výše uvedeném přehledu chybí pětičetná osa symetrie a všechny osy s četností vyšší než 6. Nemožnost existence těchto os na krystalech má strukturní důvod: totožnými pravidelnými pětiúhelníky, sedmiúhelníky atd. nelze žádným způsobem zcela vyplnit plochu, vždy mezi nimi zůstane prázdné místo (obr. 2.15). Krystalovou mřížku proto nelze složit z pravidelných pětiúhelníků, sedmi- a víceúhelníků. Ve světě živé přírody se s těmito symetriemi setkáváme poměrně běžně, protože zde odpadá omezení dané požadavkem translační periodicity krystalových struktur.

Symetrie podle inverzních os

Inverzní osy symetrie (gyroidy) jsou složené prvky symetrie, které vznikají společným působením středu symetrie a gyr. Operace symetrie, které jim přísluší, se tedy skládají ze dvou kroků: 1) rotace kolem gyry, 2) inverze podle středu symetrie (obr. 2.16). Podle četnosti gyry, jež je “součástí” gyroidy, rozlišujeme následující typy gyroid (tab. 2.3 a obr. 2.17):

Tabulka 2.3: Gyroidy

Většinu gyroid lze ovšem nahradit kombinací jiných prvků symetrie (obr. 2.17):

K vyjádření symetrie krystalových mnohostěnů tedy stačí následující prvky symetrie (tab. 2.4):

Má-li krystal více os symetrie, pak se osa s největší četností nazývá osa hlavní a bývá podle konvence orientována do vertikálního směru (obr. 2.18a). Osa symetrie může spojovat dva stejnocenné prvky omezující krystal (stejnocenné plochy, hrany, rohy) či prvky různocenné. Osy spojující stejnocenné prvky na krystalu se nazývají osy bipolární, na rozdíl od os polárních (hemimorfních), které spojují prvky různocenné (obr. 2.18b).

další »»