Symboly krystalových ploch
V krystalografii často vyvstává potřeba vyjádřit přesně a jednoduše polohu ploch v prostoru. V současné mineralogické literatuře se k tomuto účelu nejčastěji používají Millerovy resp. Bravaisovy symboly. Millerova (Bravaisova) symbolika je základním jazykem krystalografie, proto je její pochopení pro další čtení nezbytně nutné.
Millerův symbol krystalové plochy má obecně tvar (hkl). Indexy h, k, l Millerova symbolu (hkl) jsou převrácené hodnoty odvozovacích koeficientů m, n, p plochy (tedy: čím jsou odvozovací koeficienty větší, tím jsou menší indexy Millerova symbolu a naopak):
h =1/m k = 1/n, l=1/p (hkl)
-
Představme si trojosý krystalografický osní kříž a základní plochu, která má vždy základní poměr parametrů 1a : 1b : 1c, takže m = 1, n = 1, p = 1. (obr. 2.22a). Millerův symbol základní plochy bude:
h = 1/1 = 1, k = 1/1 = 1, l = 1/1 = 1 => (hkl) = (111)
-
Představme si nyní krystalovou plochu s odvozeným poměrem parametrů 1a : 1b : 1/2c (tedy m = 1, n = 1, p = 1/2) (obr. 2.22b). Millerův symbol této nižší plochy bude:
h = 1/1 = 1, k = 1/1 = 1, l = 1/(1/2) = 2 => (hkl) = (112)
-
Představme si dále plochu s odvozeným poměrem parametrů 1a : 1b : 2c (tedy m = 1, n = 1, p = 2) (obr. 2.22c). Symbol této vyšší plochy bude:
h = 1/1 = 1, k = 1/1 = 1, l = 1/2 => (hkl) = (11(1/2))
h = 1 · 2 = 2, k = 1 · 2 = 2, l = (1/2) · 2 = 1 => (hkl) = (221)
-
Rozeberme dále příklad, kdy plocha má poměr parametrů 1/2a : 1/2b : 1/2c (tedy m = 1/2, n = 1/2, p = 1/2) (obr. 2.22d). V tomto případě:
h = 1/(1/2) = 2, k = 1/(1/2) = 2, l = 1/(1/2) = 2 => (hkl) = (222)
Protože se ale vždy snažíme o co nejjednodušší (nejmenší) Millerův symbol, vydělíme výsledek dvěma:
h = 2/2 = 1, k = 2/2 = 1, l = 2/2 = 1 => (hkl) = (111)
Tento výsledek ilustruje důležitou vlastnost Millerových symbolů: paralelní posun libovolné plochy na krystalu nemění její Millerův symbol.
-
Na krystalech se běžně vyskytují i jednoúsekové a dvojúsekové plochy. Takové plochy jsou nutně se dvěma či s jednou krystalografickou osou rovnoběžné (protnou se v nekonečnu). Rovnoběžnost plochy s některou krystalografickou osou vyjadřujeme nulou na místě příslušného indexu Millerova symbolu. Příklady jsou uvedeny na obrázku2.22e-g.
-
Dále na každém krystalu existují plochy, které utínají jednu, dvě či všechny tři záporné poloosy osního kříže. V takovém případě píšeme nad příslušné indexy Millerova symbolu znaménko minus, protože odvozovací koeficienty m, n, p nabývají záporných hodnot. Např. (
21), (21),
(2
).
Příklady takových ploch jsou na obrázku 2.22h-j.
Bravaisovy symboly
Bravaisovysymboly jsou v podstatě Millerovy symboly upravené pro hexagonální a trigonální soustavu. Krystalografický osní kříž těchto soustav je čtyřosý (obr. 2.21), proto jsou i Bravaisovy symboly ploch čtyřmístné (poměr parametrů je obecně ma1 : na2 : oa3 : pc). Pro odvozování Bravaisových symbolů ploch jinak platí tatáž pravidla jako pro odvozování Millerových symbolů. Bravaisovy symboly mají obecně tvar (hkil), kde:
h = 1/m, k =1/n, i = 1/o, l = 1/p
| Přitom platí: h + k + i = 0, tedy: | h + k = – i h + i = – k k + i = – h |
Znamená to, že jeden z indexů h, k, i lze vždy vypočítat
součtem dvou zbylých indexů a otočením znaménka. Například: plocha na
obr. 2.22k
má poměr parametrů 1a1 : 1a2 : 1c.
Index i můžeme vypočítat: i = - (1 + 1) = -
2. Bravaisův symbol plochy tak bude: (111).
Představme si dále plochu s poměrem parametrů - 1a1 : 1a3 : 1c
(obr. 2.22l).
Potom k = - (- 1 + 1) = 0. Bravaisův symbol plochy
je (011).
Protože sazba číslic se znaménkem minus nad číslicí je obtížná, vynechává se v některých textech třetí index a nahrazuje se tečkou, např. (11.1), (21.3) apod. Vynechaný index lze vždy jednoduše vypočítat z ostatních indexů.
další »»